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lunes, septiembre 03, 2012

Cálculo: Definición, evolución histórica y aplicaciones

Cálculo: 
Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias como las económicas y las  ingenierías, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. 


Evolución histórica:
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz. 

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.


Pueden también recordar algunos conceptos de Cálculo Diferencial en este mismo blog.  Clic acá para ir al artículo

jueves, septiembre 15, 2011

Propiedades y primeras técnicas de integración de funciones

Según Wikipedia El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería, economía y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Ejemplo: Integración por sustitución






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Para ver los ejercicios del  método de Integración por partes Clic acá

lunes, marzo 21, 2011

Pasos matemáticos cruciales para el ensayo de cirugías con copias virtuales de cada paciente

Accidentalmente, un cirujano mata a un paciente, deshace el error y comienza de nuevo. ¿Pueden los matemáticos hacer realidad esa idea de la ciencia-ficción? Se aproxima con rapidez el día en que un cirujano pueda practicar sobre el "doble digital" de su paciente (una copia virtual del cuerpo de éste) antes de realizar la operación quirúrgica real, según el matemático Joseph Teran Ph.D.  en 2005 en Stanford University. y actualmente docente investigador de la UCLA: University of California de Los Angeles  está ayudando a hacer viable una tecnología para la cirugía virtual.  


Las ventajas de esta nueva tecnología salvarán vidas. "El cirujano puede permitirse cometer errores sin consecuencias cuando utiliza un simulador, y aprender de sus errores", explica Teran. "Si comete errores, puede deshacerlos como lo hace cualquiera que se equivoca al teclear una palabra en un documento usando un procesador de textos. Volver a empezar es un gran beneficio de la simulación. La simulación quirúrgica está llegando, no hay ninguna duda sobre esto. Es una alternativa más barata frente a los cadáveres y una alternativa más segura para los pacientes". Los pacientes pueden ser escaneados y entonces es posible generar un doble digital tridimensional. Es una copia virtual del cuerpo del paciente, incluyendo sus órganos internos. El cirujano hace primero la operación quirúrgica en el paciente virtual. Con un simulador, un cirujano puede practicar un procedimiento decenas o cientos de veces. Cuando está clara la mejor forma de realizar la cirugía, entonces el paciente acudirá al hospital para ser operado. Ahora, ya puede hacerse un doble corporal tridimensional digital de cualquier persona, pero actualmente eso requiere la labor de 20 especialistas entre seis y nueve meses. En un futuro cercano, un único técnico podrá hacerlo en cuestión de minutos. La disponibilidad fácil de esta tecnología permitirá a los cirujanos cometer menos errores sobre los pacientes reales. El único factor limitante es la complejidad de la geometría involucrada, pero Teran y sus colaboradores están trabajando en eso. La tecnología será especialmente útil para nuevos tipos de cirugías, que por su carácter novedoso no hayan podido ser ensayadas tanto como sería deseable. 

Joseph M. Terán  Docente UCLA
Hacer realidad la cirugía virtual requerirá resolver ecuaciones matemáticas, operaciones de cálculo multivariado, así como progresar en la geometría computacional y en la informática. Siendo un experto en matemáticas aplicadas, Teran trabaja en estos campos; él desarrolla algoritmos para resolver las ecuaciones. Los adelantos hechos por Teran y otros científicos en la geometría computacional, ecuaciones  y la computación a gran escala están acelerando la viabilidad práctica de la cirugía virtual.