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En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios.
Thomas Hales actualmente Andrew Mellon (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la
conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una
caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más
eficiente posible).
Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo
propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir
“creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día,
las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de
comunicaciones y teoría de la información y de la codificación
para planificar canales de comunicación y para desarrollar
códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más
difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el
problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar
círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.
Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo
XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas
iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial?
En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que
12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que
esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin
demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco
dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y
44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró
Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560.
Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres
dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e
increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24
dimensiones.
Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un
ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem
utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales.
El problema de
la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una
conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que
el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas
redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho
de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por
segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido
y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación
basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech).
En
la década de los 70, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano
de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo
que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran
sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”
