Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y
otros en el siglo 18 para estudiar la dinámica de las vibraciones de
cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste.
Joseph Fourier, a principios del siglo 19, reconoció la gran utilidad práctica
de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar
una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de
Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica,
hasta los circuitos eléctricos.
Las series de fourier consisten en la descomposición de una onda periódica en una serie infinita de sumas de ondas sinusoidales, esto para el análisis matemático de dicha onda periódica.
En la actualidad, los métodos de
Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la
ingeniería moderna, en especial de las técnicas computacionales. Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo 19 eran inadecuadas
para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número
de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes
de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para
poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune
Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función.
Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900
obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia
de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se
logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que
trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870,
los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos
se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son
iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.
En la primera década del siglo 20, el concepto de espacio de Hilbert fue
clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático
alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma
axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin
embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann
reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica,
ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta
clase de espacios de Hilbert.
La mecánica cuántica es la teoría científica
más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología
moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la
energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas
matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las
series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo 20, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.
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