Cálculo: Definición, evolución histórica y aplicaciones

Cálculo: 

Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias como las económicas y las  ingenierías, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. 

Evolución histórica:

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz. 

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

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Belleza y matemáticas

El libro de la naturaleza esta escrito con caracteres matemáticos.
Galileo

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Cálculo Diferencial: Historia y aplicaciones

El Cálculo Diferencial consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables, frecuentemente el cambio en una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. Para poder comprender y manejar tales procesos, la derivada se ha convertido en herramienta fundamental, puesto que permite tanto determinar cómo predecir el comportamiento de las diversas variables involucradas en un fenómeno. Los conceptos de velocidad y la aceleración son aplicaciones de la derivada como razón de cambio. En economía los costos marginales, los ingresos marginales y las utilidades marginales también son derivadas. Una aplicación interesante de la derivada se encuentra en los problemas de optimización. Por ejemplo, cuando una compañía que elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lata que contenga el máximo volumen y requiera el mínimo de material, la solución puede encontrarse mediante el empleo del cálculo diferencial. Es por ello que tendrás la oportunidad de revisar algunos problemas relacionados con la optimización y aplicar los conocimientos en la resolución de algunos problemas sencillos. (Imagen tomada de Wikipedia)

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Distribuciones de Probabilidad

Según Wikipedia. En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

 

 

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Alan Turing: las ideas claras

Autor: Pablo Jacovkis

El 23 de junio de 2012 se conmemoró el centésimo aniversario del nacimiento de Alan Turing. Este deslumbrante matemático es considerado uno de los padres de la ciencia de la computación y –de una manera más secreta- un héroe de la Segunda Guerra Mundial. Contribuyó como pocos a la defensa de su patria, Gran Bretaña, aunque su esfuerzo y dedicación no fueron debidamente correspondidos, e incluso debió sufrir la persecución y el escarnio. 

Turing murió joven: se quitó la vida el 7 de junio de 1954. Sin embargo sus logros, durante sus casi 42 años de vida, le dieron un lugar prominente en el panteón de la ciencia del siglo XX. Y también en el de aquéllos cuya contribución personal a la derrota del nazismo puede ser particularmente individualizada.

en 1936 –a los 24 años, sin haberse aún doctorado, y a la sazón miembro del King's College de la Universidad de Cambridge, donde se había graduado con honores– escribió un artículo cuyo título en castellano sería “Sobre números computables, con una aplicación al problema de la decisión”. El texto fue publicado a comienzos de 1937 en la prestigiosa revista científica Proceedings of the London Mathematical Society, y para su elaboración utilizó una “máquina” teórica que hacía las veces de una computadora con reglas muy simples y formales (recordemos que las computadoras no existían en ese momento). En dicho artículo demostró que esa máquina podía lleva a cabo cualquier cálculo matemático que pueda ser representado por un algoritmo, y que no era posible encontrar un algoritmo que decidiera si una aseveración (dentro de determinado tipo de aseveraciones lógicas y matemáticas esenciales en computación) es demostrable o no.

Esa máquina se llamó después “máquina de Turing”, y jugó un papel fundacional en la teoría de la computación. Sobre todo porque en el mismo artículo, Turing ideó teóricamente lo que después se llamó “máquina de Turing universal”: o sea, una máquina de Turing que puede “simular” cualquier otra máquina de Turing. Toda la teoría de la computación “concreta”, desarrollada alrededor de computadoras reales (que empezaron a construirse unos años después), está profundamente influida por su trabajo.

En 1939, al comenzar la Segunda Guerra Mundial, Turing pasó a trabajar en la Escuela Gubernamental de Código y Cifrado, que funcionaba en Bletchley Park, una mansión victoriana a 67 kilómetros de Londres. Allí tuvo una participación crucial en importantes avances en criptografía, entre los cuales podemos citar el desciframiento del código Enigmausado por los alemanes es sus comunicaciones militares secretas. Esto fue extraordinariamente útil al esfuerzo británico y aliado. Demás está decir que su impresionante solidez matemática y su talento creativo fueron fundamentales en su éxito. Pero pocos se enteraron de ello en esa época, porque su trabajo era absolutamente secreto (aunque recibió la Orden del Imperio Británico).
Siempre afincado en Manchester, Turing se dedicó luego a biología matemática, y a lo que más tarde se llamó “inteligencia artificial”, disciplina en cierto sentido creada por él. 
Actualmente el premio más importante de la computación mundial lleva su nombre. Se le consagraron biografías, obras de teatro y películas. Se lo ha catalogado como una de las 100 personalidades más importantes del siglo XX.
* Pablo Jacovkis es secretario de Investigación y Desarrollo de la Universidad Nacional de Tres de Febrero (UNTreF). Fue decano de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires (UBA) y presidente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (Conicet). Tomado de http://www.educ.ar/sitios/educar/docentes/ActualidadeInformacion/ver?rec_id=106634

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Números Primos

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1.


Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

Importancia de los Números Primos
Los teóricos de los números consideran a los números primos los números más importantes de todos, porque son los átomos de la matemática. Los números primos son los bloques de la construcción numérica, porque todos los otros números pueden ser creados multiplicando combinaciones de números primos.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números.
Aplicaciones de los Números Primos:
Los números primos tienen aplicaciones en otros ámbitos, como en el espionaje o en el estudio de la evolución de los insectos.

Influencia de los Números Primos:

Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió de ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales
En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera informal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.
También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.

A continuación un documental excelente sobre el tema

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